一、向量范数

“1-范数”

向量各分量长度之和

${\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}_{0}=\sum_{1}^{n}|x_{i}|$

n维向量与原点的欧式距离

${\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}_{1}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}$

最大分量

$|x|_{\infty} = max(x_{i})$$ $$x_i = 1,2,3...n$

$|x|_{\infty}≤|x|_{2}≤\sqrt{n}|x|_{\infty}$

后两者的不等关系可以通过等式两边同时平方来理解。

$|x|_{\infty}≤|x|_{1}≤n|x|_{\infty}$

设 $A\in R^{n\times n}$

关于A的实值函数||A||满足以下条件时，才能称为矩阵范数:
1、非负性
||A|| ≥ 0
当且仅当A为零矩阵时||A||=0
2、齐次性
||kA|| = |k|*||A||
3、三角不等式
||A|| + ||B||≥||A+B||

算子范数是用向量范数来定义的

$\mathop{max}\limits_{i≠0}\frac{||Ax||_p}{||x||_p}=\mathop{max}\limits_{||x||_p=1}||Ax||_p$