奇异矩阵&非奇异矩阵

$$A\in R^{n\times n},B\in R^{n\times n}$$,且AB = BA = I(I是单位矩阵)，则A、B互为逆矩阵。 转置的逆和逆的转置相等。 存在逆的矩阵成为非奇异矩阵，不存在逆的矩阵为奇异矩阵。 # 高斯消元法 前提: 阶梯型矩阵组成的方程非常好解。 所以可以通过变换，将所有的矩阵化成阶梯型矩阵。  程序实现: for k = 1: n-1 //遍历各列，每次循环后，第k行k列元素之下的所有元素都为0 for i = k+1: n //每列元素遍历 $$l_{ik}=a_{ik}^{k-1}/a_{kk}^{k-1}$$;//求出系数 $$b_i^{k}=b_i^{k-1}-l_{ik}b_k^{k-1}$$;//处理b for j = k+1: n//处理每行剩下的元素 $$a_{ij}^{k}=a_{ij}^{k-1}-l_{ik}a_{kj}^{k-1}$$; endfor endfor endfor 这里，$$a_{ij}^0=a_{ij}$$。 处理后得到一个上三角矩阵。 然后再$$回代$$

　for k = n: 1
　　 $x_k=(b_k^{k-1}-a_{kn}^{k-1}x_n-…-a_{kk+1}^{k-1}x_{k+1}/a_{kk}^{k-1}$
　endfor

选主元的改进

主元不能过小。主元需要做除数，过小会导致误差。

可以选择绝对值最大的主元
在变换到第k步时，选择$a_{jk}^{(k)}$(i=k,k+1…,n)中绝对值最大者为主元，然后交换它与$a_{kk}^{(k)}$所在方程的位置

这称作全选主元法

问题是确定主元时所需的比较次数过多。

回代时降低误差

LU分解

gauss分解的本质是将A 分解为A = LU
其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵。
最后化简的结果是U

CSDN:《Dolittle分解》

Ax = b可以化为LUx = b
求解过程可以化为：
Ly = b解出y
再由Ux = y解出x

LU分解计算行列式

Doolittle分解/Crout分解

若L为单位下三角阵，称为Doolittle分解
若U为单位上三角阵，称为Crout分解。