一、数值的浮点表示

数值是由 数符+尾数+阶码 来表示的，实际计算机表示的数字一定是离散的，就像下面的图像所示。

这样就必然会产生误差。

二、浮点计算特点

加减法：

• 先对阶(将阶码统一为较大者)
• 后计算
• 再舍入

乘除法:

• 先运算
• 再舍入

不在计算机数系的数做四舍五入(注意不是截断)

三、减小误差的技巧：

1、相近不减

非常接近的数相减，会损失有效数字
如: 212121.4 - 212121.1 = 0.3
两个有效数字为7的数字相减，结果的有效数字为1

如何避免相近的数相减呢？
例：
计算$12-\sqrt{143}$,$\sqrt{143}=0.1196$，故答案为$0.4\times10^{-1}$

但是，从另一个角度，$12-\sqrt{143}=\frac{1}{12+\sqrt{143}}$

$$\frac{1}{12+\sqrt{143}} = 0.4174\times10^{-1}$$

后一种做法精度更高。
精确解是0.041739….

2、悬殊不加

数量级差太大的数尽量避免做加法(会导致大数吃小数)

3、太小不乘、太小不除

(会出现答案过大或者过小，导致精度降低)

四、控制误差的传播

方案1是从左往右迭代，方案2是从右往左迭代。

迭代结果图示:
方法1:

五、算法设计的优劣标准

• 1、误差大小
• 2、收敛性
• 3、稳定性
  所谓稳定性:一个算法，如果初始值有小的舍入误差，而计算过程的舍入误差不增长，则称此算法为数值稳定的；否则称数值不稳定的或算法病态的。根据稳定性的定义：判断一个算法（不）稳定，关键是要推导出误差的传播公式，若误差在计算过程中变大则不稳定，否则是稳定的。

六、误差来源

绝对误差/绝对误差限/相对误差/相对误差限

设x是准确值，x’为x的一个近似值，e’ = x’ - x,e’就是绝对误差

如果所有的误差e’, |e’|≤a’，则a’就是x’的绝对误差限，简称误差限。

相对误差/相对误差限就是在其基础上除以x’

七、 误差分析

将带有误差的数据进行计算时，误差在运算过程中会进行传播，必然导致计算结果出现误差。一般来说，精确值x与近似值x*之间都比较接近，其误差可以看作是一个小的增量，即可以把误差看作微分，即

$$e^*=x^*-x=dx$$ $$e^*_r=\frac{e^*}{x}=\frac{dx}{x}=dlnx$$

误差的计算也就可以参照积分微分规则

以上的误差计算没有考虑自变量的误差，更一般的情况是，自变量也会产生误差。自变量的误差导致的函数值误差由泰勒公式导出。

乘以一个导数f’(x’)应该就可以。

八、误差分析例题

1、

已知，$(\sqrt{2}-1)^6=99-70\sqrt{2}=\frac{1}{99+70\sqrt{2}})$
由于$\sqrt{2}$的精确值未知，取其为1.414，试问下列三个表达式哪个计算精度最高？

$$f_1(x)=(x-1)^6$$ $$f_2(x)=99-70x$$ $$f_3(x)=\frac{1}{99+70x}$$

感觉：导数值尽量小，误差也会随之变小。（是这样吗？）

2、

回到刚才的迭代问题：
迭代误差的传播

为什么方案1误差这么大呢？
方案1在迭代时，导数依次乘以1、2、3、4、误差呈阶乘式增长

方案2的导数就很小。