leetcode 剑指 Offer 14- I. 剪绳子

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描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：

2 <= n <= 58

动归版本1(复杂度较高):

定义$dp[i][j]$表示把长度为i的绳子分成j段的最大值。
状态转移方程:

$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-k][j-1]*k)$k为小于i的整数。

class Solution {
public:
    int** dp;
    int cuttingRope(int n) {
        creatDpArray(n);
        for(int i = 1;i < n+1; ++i){
            dp[i][1] = i;
        }
        for(int j = 2; j < n+1; ++j){
            for(int i = j; i < n+1; ++i){
                dp[i][j] = 1;
                for(int k = 1; k <= i-j; ++k){
                    dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-k][j-1] * k);
                }
            }
        }
        int ans = 1;
        for(int i = 2; i < n; ++i){
            ans = max(dp[n][i],ans);
        }
        delDpArray(n);
        return ans;
    }
    int creatDpArray(int n){
        dp = new int*[n+1];
        for(int i = 0; i < n+1; ++i){
            dp[i] = new int[n+1];
        }
        return 0;
    }
    int delDpArray(int n){
        for(int i = 0; i < n+1; ++i){
            delete []dp[i];
        }
        delete []dp;
        return 0;
    }
};

复杂度O(N^3).
数据量太小了，这样用时居然也是100%kill

不过二维数组的dp很是问题，一做就脑仁疼。

动归版本2:

做的时候并没想过改进，但后来刷到了几乎一模一样的题:
这个版本复杂度更低。O(N^2)
leetcode ->343. Integer Break
这次的方法更好一点儿。

定义:$dp[i]$为长度为i的绳子经过分割后的最小乘积。
状态转移方程:

$dp[i]=max(max(dp[j],j)*max(dp[i-j],i-j))$,其中1<j<=i/2

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n+1);
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; ++i){
            int tmp = 0;
            for(int j = 1; j <= i/2; ++j){
                int num1 = max(dp[j],j);
                int num2 = max(dp[i-j],i-j);
                tmp = max(tmp,num1*num2);
            }
            dp[i] = tmp;
        }
        return dp[n];
    }
};