关系代数分为：

• 集合操作：交、并、差、笛卡尔积
• 纯关系操作：投影、选择、连接、除。

并相容性

某些运算、如交、并、差，需要满足并相容性。
并相容性需要满足：

• 关系R和关系S的属性数目必须相同；
• 对于任意i，关系R的第i个属性的域必须和关系S的第i个属性的域相同

交、并、差都很简单、不再赘述。

广义笛卡尔积操作

形象地讲就是“拼接”。

选择操作

基本写法：$\sigma_{con}(R)=\left\{t|t\in R\wedge con(t)=true\right\}$

投影

符号：$\prod$
即把某些属性单独拎出来。

投影后的相同元素注意去重。

theta-连接操作

查询数据结构成绩在90分以上的学生姓名(涉及Student, Course, SC)：

这就需要$\theta$-连接操作
方法是：先进行笛卡尔积，再筛选。

(注：形成笛卡尔积是方便理解，实际上这种做法会耗费算力)

有时候，$\theta$-连接操作连接的是同一张表，为避免冲突，可以将表重命名（看成两张表）

等值连接：

举例：

自然连接:

概念:
给定关系R和关系S, R与S的自然连接运算结果也是一个关系，它由关系R和关系S的笛卡尔积中选取相同属性组B上值相等的元组所构成。

• 自然连接是一种特殊的等值连接
• 要求关系R和关系S必须有相同的属性组B(如R,S共有一个属性B1,则B是B1 , 如R, S共有一组属性B1, B2, …, Bn，则B是这些共有的所有属性)
• R, S属性相同，值必须相等才能连接，即R.B1 = S.B1 and R.B2 = S.B2 … and R.Bn = S.Bn才能连接
• 要在结果中去掉重复的属性列(因结果中R.Bi 始终是等于S.Bi 所以可只保留一列即可)

自然连接举例：

除操作

先看例子吧：

可以看到，R÷S 与 S 的笛卡尔积是R的子集。

外连接

思考这个问题：
列出所有老师的有关信息，包括姓名，工资，所教课程等。

如果使用普通的$\theta$连接，003号教师的信息会丢失。

外连接解决的就是这个问题：当两个表内无法匹配，会生成一个空值。而不是把信息直接丢掉。

外连接= 自然连接(或$\theta$连接) + 失配的元组(与全空元组形成的连接)
外连接的形式：左外连接、右外连接、全外连接
左外连接= 自然连接(或$\theta$连接) + 左侧表中失配的元组
右外连接= 自然连接(或$\theta$连接) + 右侧表中失配的元组
全外连接= 自然连接(或$\theta$连接) + 两侧表中失配的元组

例：

注意(2)中的减操作
(4)中的”包含”，和除操作的本质有什么联系呢?